Sumário


1 Objetivo

O objetivo desse relatório é mostrar a distribuição normal e o cálculo da probabilidade através da Quadratura Gauss-Legendre.

2 Apresentação do relatório

Será apresentado a seguir, a distribuição normal com suas respectivas funções e o passo a passo de como calcular uma integral através do método da quadratura.

3 Distribuição Normal (Gaussiana)

3.1 Quadratura Gauss- Legendre

  • A quadratura gaussiana é uma integração numérica que será utilizada para calcular a probabilidade citada acima.
  • Este método númerico consiste em apontar reusltados exatos em s pontos para polinômios de grau 2s-1 ou menor para uma escolha adequada dos pontos Xi e pesos Wi para i = 1,…,n. O domínio de integração é por convenção tomado como [-1,1], expressa em:
    \[\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{k=1}^{s}Wk g(Xk)\]
  • Em que:
    • Xk: Nó
    • wK: Peso da soma
    • fx: Função estudada
    • g(xK): Função transformada
  • Para calcular a integral de um afunção através do método da quadratura gaussinana, segue alguns passos:
    1. Determinar o número de pontos s que se deve tomar para resolver a integral.
    2. Determinar os nós (Xk) e os pesos (Wk) da quadratura, usando a função:
      SMR:::GaussLegendre(s)
      do pacote R,SMR, sendo s os pontos da quadratura
    3. Determinar f(xk) = g(xk), ou seja, a função de interesse aplicada nos nós
    4. E por fim, calcular através da função citada acima.

3.2 Calculando a função no R através da Quadratura Gauss-Legendre

  • Exemplo: Calculando a integral
    \[\int_{-1}^{1} (x^3-5x)dx\]
  1. Serão necessários s = 2 pontos de quadratura para a resoluyção da integral
  2. Usando o pacote SMR, temos:
  
  >SMR:::GaussLegendre(2)
  $nodes
  [1] -0.5773503 0.5773503
  $weights
  [1] 1 1 1 
  1. Determinando:
    g(x)=f(x)
{g(x1),g(x2)} = {2,694301, -2,694301}
  1. Logo, calculando a integral pelo método:
\[\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{k=1}^{s}Wk g(Xk)\]
\[\int_{-1}^{1} (x^3-5x)dx = 1 x (2,694301) + 1 x (-2,694301) = 0\]