Objetivo
O objetivo desse relatório é mostrar a distribuição normal e o
cálculo da probabilidade através da Quadratura Gauss-Legendre.
Apresentação do
relatório
Será apresentado a seguir, a distribuição normal com suas respectivas
funções e o passo a passo de como calcular uma integral através do
método da quadratura.
Distribuição Normal
(Gaussiana)
A distribuição normal é a mais familiar das distribuições de
probabilidade e também uma das mais importantes em estatística.
A grande utilidade dessa distribuição (função densidade) está
associada ao fato de que aproxima de forma bastante satisfatória as
curvas de frequências de medidas físicas, essa curva é conhecida como
Gaussiana.
Essa distribuição possui dois parâmetros:
- Média (μ): onde está centralizada
- Variância (σ^2): descreve o seu grau de dispersão
O modelo da função normal pode ser expresso da seguinte
forma:
Variável aleatória generalizada
Seja X uma variável aleatória contínua com média μ em que:
−∞<x<∞ , e σ>0.
Função densidade de probabilidade
\[fx(x)=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^\frac{-1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2
\]
Podemos dizer que X possui uma distribuição
normal, logo: X ~ N(μ,σ^2).
- Cálculo da probabilidade
\[P (a<X<b)=
\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^\frac{-1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2\]
Quadratura Gauss-
Legendre
- A quadratura gaussiana é uma integração numérica que será utilizada
para calcular a probabilidade citada acima.
- Este método númerico consiste em apontar reusltados exatos em
s pontos para polinômios de grau 2s-1 ou menor para
uma escolha adequada dos pontos Xi e pesos Wi para
i = 1,…,n. O domínio de integração é por convenção tomado como
[-1,1], expressa em:
\[\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{k=1}^{s}Wk
g(Xk)\]
- Em que:
- Xk: Nó
- wK: Peso da soma
- fx: Função estudada
- g(xK): Função transformada
- Para calcular a integral de um afunção através do método da
quadratura gaussinana, segue alguns passos:
- Determinar o número de pontos s que se deve tomar para
resolver a integral.
- Determinar os nós (Xk) e os pesos (Wk) da quadratura, usando a
função:
SMR:::GaussLegendre(s)
do pacote R,SMR, sendo s os pontos da quadratura
- Determinar f(xk) = g(xk), ou seja, a função de interesse aplicada
nos nós
- E por fim, calcular através da função citada acima.
Calculando a função
no R através da Quadratura Gauss-Legendre
- Exemplo: Calculando a integral
\[\int_{-1}^{1} (x^3-5x)dx\]
- Serão necessários s = 2 pontos de quadratura para a
resoluyção da integral
- Usando o pacote SMR, temos:
>SMR:::GaussLegendre(2)
$nodes
[1] -0.5773503 0.5773503
$weights
[1] 1 1 1
- Determinando:
g(x)=f(x)
{g(x1),g(x2)} = {2,694301, -2,694301}
- Logo, calculando a integral pelo método:
\[\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{k=1}^{s}Wk
g(Xk)\]
\[\int_{-1}^{1} (x^3-5x)dx = 1 x (2,694301) +
1 x (-2,694301) = 0\]