O objetivo desse relatório é detalhar os conceitos básicos das distribuições de probabilidade e o seu uso no ambiente R.

Probabilidade

É o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.

Espaço Amostral (Ω)

É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento.

Variável aleatória

• As variáveis aleatórias associam o evento a um número real. É denotada pela letra maiúscula, X OU X(.) .
• É uma função com domínio em Ω e imagem no conjunto dos reais B, tal que B = {x ∈ R : X(ω) = x, ω ∈ Ω}.

Função de uma variável aleatória

Variáveis discretas:

• Suporte em um conjunto de valores enumeráveis (finitos ou infinitos)

Variáveis contínuas:

• Suporte em um conjunto não enumerável de valores infinitos.

Função de probabilidade:

• É a função que atribui cada valor xi da variável aleatória discreta X sua probabilidade de ocorrência.Então a função é dada da seguinte forma: P(X = xi) = pX(xi) = pi, i = 1, 2, . . .

Função de densidade de probabilidade:

• Não pode-se atribuir probabilidades à valores específicos, pois há uma quantidade não enumerável (infinita) de valores em um ponto.
• Portanto, as probabilidades são atribuídas à intervalos de valores, por meio de uma função e assim, são representadas por áreas.

Normal

• A distribuição Normal é a mais familiar das distribuições de probabilidade e também uma das mais importantes em estatística.
• A grande utilidade dessa distribuição (função densidade de probabilidade) está associada ao fato de que aproxima de forma bastante satisfatória as curvas de frequências de medidas físicas, essa curva é conhecida como distribuição normal

• A distribuição normal possui dois parâmetros, a média (μ), ou seja onde está centralizada e a variância (σ2>0) que descreve o seu grau de dispersão. Ainda, é comum se referir a dispersão em termos de unidades padrão, ou seja desvio padrão (σ). Cabe salientar que como qualquer outro modelo, dependendo dos parâmetros, teremos diferentes distribuições normais.

Distribuição Normal

• Parâmetros:
  • μ é a média da distribuição
  • σ2 é a varância da distribuição
  • σ é o desvio padrão da distribuição

Binomial

• A distrubuição Binomial procede do experimento de Bernoulli e é aplicada em casos de experimentos repetidos, onde existem dois possíveis resultados: cara ou coroa, sucesso(1) ou fracasso(0), item defeituoso ou item não defeituoso, e muitos outros possíveis pares.

Distribuição Binomial

Poisson

• A distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior do que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço.

Distribuição de Poisson

Geométrica

• A variável aleatória geométrica é a única distribuição discreta com a propriedade de falta de memória que implica que se o experimento for iniciado em qualquer tentativa, não irá alterar a sua distribuição de probabilidades, ou seja a avaliação das probabilidades se iniciarem após algumas tentativas a distribuição não será afetada.

Distribuição Geométrica

• o R inclui algumas operações com as distribuições de probabilidade. Sendo assim, existem 4 operações básicas indicadas por letras:

  • d calcula a densidade de probabilidade f(x) no ponto;

  • p calcula a função de probabilidade acumulada F(x) no ponto;

  • q calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade;

  • r gera uma amostra aleatória da distribuição.

  • size representa o número de de tentativas do evento

  • prob é a probabilidade de um resultado positivo

Calculando a distribuição Binomial no R

• 1 - Ocorrer extamente 2 caras em 4 lançamentos de uma moeda

dbinom (x=3, #Calcula a probabilidade de P(X=x)

  size=4, #Quantidade total de lançamentos
  
  prob=0.5, #Probabilidade inicial de ocorrer o sucesso
  
  log= FALSE)

## [1] 0.25

Calculando a distribuição Normal no R

• 2 - Cálculo da probabilidade, em um únido dia, a temperatura máxima ser superior à 36ºC

  

  Gráfico da temperatura

Calculando a distribuição Normal no R

pnorm (q = 36, #x=36
       mean = 31.71, #media
       sd = 2.41, #desvio padrão
       lower.tail = FALSE #Calculada P[X > x]
       )

## [1] 0.03753119